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令和2年度技術士第一次試験問題解答（機械）18
令和2年度技術士第一次試験問題解答（機械）18
【正答番号：①】
【正答番号：①】
＜この内容の解説者＞
【経歴】元軸受メーカー技術者。現在は、自動車部品メーカー技術者。技術士一次試験（機械）合格。
【専門】軸受、材料力学、金属材料（熱処理）
＜問題＞
下図に示すように,質量\(m\), 半径\(r\)の一様材質で均一な厚さの円板が,壁とばね定数\(k\)のばねで接続され、床面を滑らずに転がりながら振動している。この振動系の固有角振動数として,最も適切なものはどれか。
① \(\displaystyle \sqrt{\frac{2k}{3m}}\)
② \(\displaystyle \sqrt{\frac{4k}{3m}}\)
③ \(\displaystyle \sqrt{\frac{2k}{m}}\)
④ \(\displaystyle \sqrt{\frac{k}{m}}\)
⑤ \(\displaystyle \sqrt{\frac{k}{2m}}\)
【正答番号：①】
出典元： 公益社団法人日本技術士会
解説
機械力学の問題です。まず、減衰のない1自由度系の運動方程式、固有角振動数の公式を思い出しましょう。
\(\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2}+kx=0\)・・・①
\(\displaystyle 固有角振動数 \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)・・・②
\(k\)・・・ばね定数
\(m\)・・・質量
\(x\)・・・変位
では、本題に入りましょう。
円板に作用する力は、摩擦力\(F\)、変位を\(x\)とした場合、重心の運動方程式を作ると下記となります。
\(\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2}+kx=-F\)・・・③
また、回転の運動方程式は、円板の慣性モーメントを\(I\)、回転角を\(\theta\)とすると下記となります。
\(\displaystyle I \frac{d^2\theta}{dt^2}=rF\)・・・④
変形して、\(\displaystyle F=\frac{I}{r} \frac{d^2\theta}{dt^2}\)・・・④’
③、④’式から
\(\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2}+kx=-\frac{I}{r} \frac{d^2\theta}{dt^2}\)
ここで、円板の慣性モーメント\(\displaystyle I=\frac{1}{2}mr^2\)と、
円板が滑らないのでということは、\(\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=r \frac{d^2\theta}{dt^2}\)なので、
変形した、\(\displaystyle \frac{d^2\theta}{dt^2}=\frac{1}{r}\frac{d^2x}{dt^2}\)を代入すると、
\(\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2}+kx=-\frac{\frac{1}{2}mr^2}{r} \frac{1}{r}\frac{d^2x}{dt^2}\)
\(\displaystyle m \frac{d^2x}{dt^2}+kx =-\frac{m}{2}\frac{d^2x}{dt^2}\)
\(\displaystyle \left(m+\frac{m}{2}\right) \frac{d^2x}{dt^2}+kx =0\)
\(\displaystyle \frac{3m}{2}\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0\)・・⑤
⑤式より固有角振動数は、
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{\frac{3m}{2}}}=\sqrt{\frac{2k}{3m}}\)
となります。
よって、正解は「①」です。
この問題で問われていることは？
この問題で問われていることは？
1自由度系の振動を理解しているか。
剛体に働く運動方程式と慣性モーメントによる回転の運動方程式の2つの式を作ることがポイントです。